Absolute Geometrie - Wikipedia

Die absolute Geometrie ist eine Geometrie, die auf einem Axiomensystem für die euklidische Geometrie ohne das parallele Postulat oder eine seiner Alternativen basiert. Traditionell bedeutete dies, nur die ersten vier der Euklidschen Postulate zu verwenden, da diese jedoch nicht als Grundlage der euklidischen Geometrie ausreichen, werden andere Systeme wie Hilberts Axiome ohne das Parallelaxiom verwendet. ^[1] Der Begriff wurde von eingeführt János Bolyai im Jahre 1832. ^[2] Es wird manchmal als neutrale Geometrie ^[3] bezeichnet, da es in Bezug auf das parallele Postulat neutral ist.

Eigenschaften [ edit ]

Man könnte sich vorstellen, dass die absolute Geometrie ein eher schwaches System ist, aber das ist nicht der Fall. In den Euklid-Elementen vermeiden die ersten 28 Sätze und der Satz 31 die Verwendung des parallelen Postulats und sind daher in der absoluten Geometrie gültig. In absoluter Geometrie kann man auch den äußeren Winkelsatz (einen äußeren Winkel eines Dreiecks ist größer als jeder der entfernten Winkel) sowie den Satz von Saccheri-Legendre beweisen, der besagt, dass die Summe der Maße der Winkel in a ist Das Dreieck hat höchstens 180 ^° . ^[4]

Proposition 31 ist die Konstruktion einer Parallele zu einer gegebenen Linie durch einen Punkt, der nicht in der gegebenen Linie liegt. ^[5] Da der Beweis nur die Verwendung von Proposition erfordert 27 (der alternative innere Winkelsatz) ist es eine gültige Konstruktion in absoluter Geometrie. Genauer gesagt, unter Berücksichtigung einer beliebigen Zeile l und eines beliebigen Punktes P der nicht auf l liegt, gibt es mindestens eine Zeile bis P die parallel zu ist. Dies kann anhand einer bekannten Konstruktion bewiesen werden: Bei einer Linie l und einem Punkt P nicht auf l fallen die Senkrechten m aus P bis l dann eine Senkrechte n bis m bis P . Nach dem alternativen inneren Winkelsatz steht parallel n . (Der Satz des alternativen Innenwinkelsatzes besagt, dass, wenn die Linien a und b durch ein transversales t geschnitten sind, so dass ein Paar kongruenter alternierender Innenwinkel vorliegt, dann a und b parallel sind.) Die vorstehende Konstruktion und der alternative Innenwinkelsatz sind nicht auf das parallele Postulat angewiesen und gelten daher in der absoluten Geometrie. ^[6]

In der absoluten Geometrie ist es auch beweisbar, dass zwei Linien senkrecht zu derselben Linie sich nicht schneiden können (was die beiden Linien per Definition parallel macht beweisen, dass die Gipfelwinkel eines Saccheri-Vierecks nicht stumpf sein können und dass die sphärische Geometrie keine absolute Geometrie ist.

Beziehung zu anderen Geometrien [ edit ]

Die Sätze der absoluten Geometrie gelten für die hyperbolische Geometrie, die eine nicht-euklidische Geometrie ist, sowie für die euklidische Geometrie. ^[7]

Die absolute Geometrie stimmt nicht mit der elliptischen Geometrie überein: In dieser Theorie gibt es überhaupt keine parallelen Linien, aber es ist ein Satz der absoluten Geometrie, dass es parallele Linien gibt. Es ist jedoch möglich, das Axiomensystem so zu modifizieren, dass die absolute Geometrie, wie durch das modifizierte System definiert, sphärische und elliptische Geometrien umfasst, die keine parallelen Linien haben. ^[8]

Die absolute Geometrie ist eine Erweiterung der geordneten Geometrie und daher Alle Sätze in geordneter Geometrie gelten in absoluter Geometrie. Das Gegenteil ist nicht wahr. Bei der absoluten Geometrie werden die ersten vier der Euklidschen Axiome (oder deren Äquivalente) der affinen Geometrie gegenübergestellt, die nicht die dritten und vierten Axiome von Euklid voraussetzt.
(3: "Um einen Kreis mit einem beliebigen Mittelpunkt und Entfernungsradius zu beschreiben.",
4: "Dass alle rechten Winkel zueinander gleich sind." )
Geordnete Geometrie ist eine gemeinsame Grundlage sowohl der absoluten als auch der affinen Geometrie. ^[9]

Die Geometrie der speziellen Relativitätstheorie wurde ausgehend von neun Axiomen und elf Propositionen der absoluten Geometrie entwickelt. ^[10][11] Die Autoren Edwin B. Wilson und Gilbert N. Lewis über die absolute Geometrie hinausgehen, wenn sie die hyperbolische Rotation als die Transformation zweier Referenzrahmen einführen.

Hilbert-Flugzeuge [ edit ]

Eine Ebene, die Hilberts Inzidenz-, Zwischen- und Kongruenz-Axiome erfüllt, wird als -Hilbert-Ebene bezeichnet der absoluten Geometrie. ^[13]

Unvollständigkeit [ edit ]

Die absolute Geometrie ist ein unvollständiges axiomatisches System in dem Sinne, dass man zusätzliche unabhängige Axiome hinzufügen kann, ohne das Axiomensystem inkonsistent zu machen. Man kann die absolute Geometrie erweitern, indem man verschiedene Axiome über parallele Linien hinzufügt und inkompatible, aber konsistente Axiomsysteme erhält, die zu euklidischer oder hyperbolischer Geometrie führen. Daher ist jeder Satz der absoluten Geometrie ein Satz der hyperbolischen Geometrie und der euklidischen Geometrie. Das Gegenteil trifft jedoch nicht zu.

Siehe auch [ edit ]

1. ^ Faber 1983, pg. 131
   


2. ^ In " Anhang, der die absolute Wissenschaft des Weltraums zeigt: unabhängig von der Wahrheit oder Falschheit von Euklids Axiom XI (keineswegs zuvor entschieden) " (Faber 1983, S. 161)
   


3. ^ Greenberg zitiert W. Prenowitz und M. Jordan (Greenberg, S. xvi), weil sie den Begriff neutrale Geometrie verwendet haben, um sich auf den Teil der euklidischen Geometrie zu beziehen, der nicht von Euclids abhängt paralleles Postulat. Er sagt, das Wort absolut in absolute Geometrie impliziert irreführend, dass alle anderen Geometrien davon abhängen.
   


4. ^ Man sieht die Unvereinbarkeit absoluter Geometrie mit elliptischer Geometrie, weil in der letzteren Theorie haben alle Dreiecke Winkelsummen größer als 180 ^° .
   


5. ^ Faber 1983, p. 296
   


6. ^ Greenberg 2007, p. 163
   


7. ^ Tatsächlich ist die absolute Geometrie tatsächlich der Schnittpunkt von hyperbolischer Geometrie und euklidischer Geometrie, wenn diese als Mengen von Sätzen betrachtet werden.
   


8. Ewald, G. (1971) Geometrie: Eine Einführung Wadsworth
   


9. ^ Coxeter 1969, S. 175–6
   


10. ^ Edwin B. Wilson und Gilbert N. Lewis (1912) "The Space- Zeitvielfalt der Relativitätstheorie: Die nichteuklidische Geometrie der Mechanik und Elektromagnetik "Verfahren der American Academy of Arts and Sciences 48: 387–507
    


11. ^ Synthetic Spacetime, ein Verdau der verwendeten Axiome und Theoreme bewiesen, von Wilson und Lewis. Archiviert bei WebCite
    


12. ^ Hartshorne 2005, S.97
    


13. ^ Greenberg 2010, S. 200
    

Referenzen [ edit

• Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (2. Aufl.), New York: John Wiley & Sons


• Faber, Richard L. (1983), Grundlagen der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1


• Greenberg, Marvin Jay (2007), Euklidische und nichteuklidische Geometrien: Entwicklung und Geschichte (4. Aufl.) , New York: WH Freeman, ISBN 0-7167-9948-0


• Greenberg, Marvin Jay (2010), "Alte und neue Ergebnisse in den Grundlagen der Grundebene Euklidischer und nichteuklidischer Geometrien" (PDF) Mathematical Association of America Monthly 117 : 198–219


• Hartshorne, Robin (2005), Geometrie: Euclid und darüber hinaus New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387- 98650-2


• Pambuccain, Victor Axiomatisierungen von hyperbolischen und absoluten Geometrien in: Nichteuklidische Geometrien (A. Prékopa und E. Molnár, Hrsg.). János Bolyai Gedenkband. Artikel der internationalen Konferenz über hyperbolische Geometrie, Budapest, Ungarn, 6. bis 12. Juli 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

Externe Links [ edit ]