Wolfsintervall - Wikipedia

Pythagoräischer Wolf Fünfter als elf gerade perfekte Fünftel

In der Musiktheorie wurde der Wolf Fünfter (manchmal auch Procrustean Fünfter genannt).
oder unvollkommener fünfter ) ^[1][2]
ist ein besonders dissonantes musikalisches Intervall, das sieben Halbtöne umfasst. Streng genommen bezieht sich der Begriff auf ein Intervall, das durch ein spezielles Abstimmsystem erzeugt wird, das im 16. und 17. Jahrhundert weit verbreitet ist: Das Viertelkomma bedeutete ein Temperament. ^[3] Im weiteren Zusammenhang wird auf ähnliche Intervalle Bezug genommen, die durch andere Abstimmungen erzeugt werden Systeme, einschließlich der meisten Temperamente.

Wenn die zwölf Töne in der Oktave einer chromatischen Tonleiter mit den Viertel-Komma-Mitteltonsystemen des Temperaments eingestellt werden, ist eines der zwölf Intervalle mit sieben Halbtönen (klassifiziert als verminderter Sechstel) viel breiter als die anderen (als perfekte Quinten eingestuft). In Mitteltonsystemen ist dieses Intervall gewöhnlich von C ♯ bis A ♭ oder von G bis E ♭ kann aber sein bewegte sich in beide Richtungen, um bestimmte Tastengruppen zu bevorzugen. ^[4] Die elf perfekten Quinten klingen fast perfekt konsonant. Umgekehrt ist der verminderte Sechste stark dissonant und scheint wegen eines Phänomens, das man Schlagen nennt, wie ein Wolf zu heulen. Da das verminderte Sechstel einem perfekten Fünftel farmarmisch entsprechen soll, wird dieses anomale Intervall als Wolfsfünfter bezeichnet.

Neben dem oben genannten Viertel-Komma können andere Abstimmsysteme stark dissonante, verminderte Sechstel produzieren. Umgekehrt ist in 12-tone gleichem Temperament, das derzeit das am häufigsten verwendete Stimmsystem ist, das verminderte Sechstel kein fünfter Wolf, da es genau die gleiche Größe wie ein perfektes Fünftel hat.

Jede Erweiterung, die als streng dissonant empfunden wird und als heulend wie ein Wolf angesehen werden kann, kann als Wolfsintervall bezeichnet werden. Zum Beispiel, im Viertel-Komma bedeutet, dass das erweiterte zweite, erweiterte dritte, erweiterte fünfte, verringerte vierte und verringerte siebte Intervall als Wolfintervall betrachtet werden kann, da ihre Größe signifikant von der Größe des entsprechend eingestellten Intervalls abweicht (siehe Größe des Viertelkommas) Zwischenintervalle).

Temperament und der Wolf [ edit ]

Bei 12-Ton-Skalen muss der Durchschnittswert der zwölf Fünftel den 700 Cent gleichen Temperaments entsprechen. Wenn elf von ihnen einen Wert von 700 - ε Cents haben, wie in den Viertelnamen und den meisten anderen gemeinen Temperament-Abstimmsystemen, wird das andere Fünftel (genauer als ein vermindertes Sechstes bezeichnet) 700 + 11 betragen. ε Cent. Der Wert von ε ändert sich abhängig vom Abstimmsystem. In anderen Abstimmsystemen (wie dem pythagoräischen Tuning und dem zwölften Komma bedeutet) können elf Fünftel eine Größe von 700 + ε Cents haben, daher ist das verringerte Sechstel 700 - 11 ε Cents . Wenn 11 ε sehr groß ist, da im Viertelkomma-Tuning-System das verminderte Sechste als Wolfsfünfter angesehen wird.

In Bezug auf die Frequenzverhältnisse muss das Produkt der Quinten 128 sein, und wenn f die Größe eines Fünften hat, 128: f ¹¹ oder f ¹¹ : 128, wird die Größe des Wolfes haben.

Auch für die Terz finden wir abwechslungsreiche Stimmungen. Die großen Drittel müssen durchschnittlich 400 Cent betragen, und zu jedem Drittel der Größe 400 ∓ 4 ε Cents haben wir ein Drittel (oder ein verringertes Viertel) von 400 ± 8 ε Cents, was zu einem Anstieg führt acht Drittel 4 ε Cent schmaler oder breiter, und vier verminderte Viertel 8 ε Cent breiter oder enger als der Durchschnitt. Drei dieser verminderten Vierteln bilden große Triaden mit perfekten Fünfteln, aber einer von ihnen bildet mit dem verminderten Sechsten eine große Triade. Wenn das verminderte Sechstel eine Wolfspause ist, wird diese Triade als Wolfmajor-Triade bezeichnet.

In ähnlicher Weise erhalten wir neun geringfügige Drittel von 300 ± 3 ε Cent und drei kleine Drittel (oder erhöhte Sekunden) von 300 ∓ 9 ε Cent.

Quarter comma meanone [ edit ]

In Quarter-Comma Meanone ist das fünfte von Größe ⁴ √ 5 ca. 3.42157 Cents (oder genau ein Zwölftel eines Diesis) flacher als 700 Cents, und so ist der Wolf ungefähr 737,637 Cents oder 35,682 Cents schärfer als ein perfektes Fünftel der Größe genau 3: 2, und dies ist der fünfte Original des heulenden Wolfs.

Die flachen kleinen Drittel sind nur etwa 2,335 Cent schärfer als ein untergeordnetes Drittel der Größe 7: 6, und die scharfen großen Drittel der Größe genau 32: 25 sind um 7,712 Cent flacher als das übergroße Drittel von 9: 7. Mittlere Abstimmungen mit etwas flacheren Quinten führen zu näheren Annäherungen an die Subminor- und Supermajor-Terzen und die entsprechenden Triaden. Diese Drittel verdienen daher kaum die Benennung des Wolfes, und historisch wurde dieser Name nicht gegeben.

Pythagoras-Stimmung [ edit ]

Bei der Pythagoräer-Stimmung gibt es elf richtig abgestimmte Fünftel, die schärfer als 700 Cents sind, um etwa 1,955 Cent (oder genau ein Zwölftel einer Pythagorean-Koma), und Daher wird ein Fünftel um das Zwölffache flacher sein, was um 23.460 Cents (ein Pythagoreer-Komma) flacher ist als ein Fünftel. Ein Fünftel dieser Wohnung kann auch als heulend wie ein Wolf angesehen werden. Es gibt jetzt auch acht scharfe und vier flache große Drittel.

Five-Limit-Tuning [ edit ]

Das Five-Limit-Tuning bestimmt ein vermindertes Sechstel der Größe 1024: 675 (etwa 722 Cents, dh 20 Cents schärfer als der 3: 2-Pythagorean perfektes fünftes). Ob dieses Intervall als dissonant genug angesehen werden sollte, um als fünfter Wolf bezeichnet zu werden, ist umstritten.

Fünf-Stufen-Tuning erzeugt auch zwei unreine perfekte Quinten der Größe 40:27 (etwa 680 Cent; weniger als 1945/59; weniger als der Pythagorean-Fünfte von 3: 2). Dies sind keine verminderten Sechstel, aber relativ zum pythagoräischen perfekten Fünften sind sie weniger konsonant (etwa 20 Cent flacher) und könnten daher als Wolffünftel betrachtet werden. Die entsprechende Inversion ist ein unreines perfektes Viertel der Größe 27:20 (etwa 520 Cent). In der C-Dur-Diatonenskala entsteht beispielsweise zwischen D und A ein unreines perfektes Fünftel, und seine Inversion tritt zwischen A und D auf.

Da der Begriff perfekt in diesem Zusammenhang vollkommen konsonant bedeutet, werden ^[5] der unreine vollkommene Vierte und der vollkommene fünfte manchmal einfach unvollkommen als vierter und fünfter bezeichnet. ^[2] Die weit verbreitete Standardbenennungskonvention für musikalische Intervalle klassifiziert sie jedoch als perfekte Intervalle zusammen mit der Oktave und dem Unisono. Dies gilt auch für ein perfektes viertes oder perfektes Fünftel, das leicht von den perfekten Konsonantenverhältnissen von 4: 3 oder 3: 2 abweicht (z. B. diejenigen, die mit 12-Ton-Gleich- oder Viertel-Komma-Temperament eingestellt sind). Umgekehrt stehen die Ausdrücke unvollkommener vierter und unvollkommener fünfter nicht im Widerspruch zur Standardbenennungskonvention, wenn sie sich auf ein dissonantes verstärktes drittes oder vermindertes Sechstel beziehen (z. B. der vierte und fünfte Wolf im pythagoreischen Tuning) ).

"Die Zähmung des Wolfes" [ edit ]

Wolfsintervalle sind eine Folge der Zuordnung eines zweidimensionalen Temperaments zu einer eindimensionalen Tastatur. ^[6] Die einzige Lösung ist zu die Anzahl der Dimensionen anpassen. Das heißt entweder

• Behalten Sie die (eindimensionale) Klaviertastatur bei, und wechseln Sie zu einem eindimensionalen Temperament (z. B. gleiches Temperament) oder


• Behalten Sie das zweidimensionale Temperament bei und wechseln Sie zu einer zweidimensionalen Tastatur. [19659047BehaltenSiedieKlaviertastatur [ edit ]
  

  Wenn das perfekte Fünftel auf genau 700 Cents gemildert ist (dh gemildert wird von ungefähr ¹ [1945[194590012] [194590012] ] 11 eines syntonischen Kommas oder genau ¹ [1945 ₁₂ eines pythagoreischen Kommas), dann ist die Stimmung identisch mit dem bekannten 12-Ton-Temperament.
  

  Aufgrund der Kompromisse (und der Wolfsintervalle), die durch das eindimensionale Klavier im Klavierstil zu Zwischenstimmen erzwungen wurden, wurden Temperamente und schließlich gleiches Temperament beliebter.
  

  Ein Fünftel der Größe, die Mozart bei oder nahe dem 55-fünften Fünftel von 698,182 Cents bevorzugt, wird einen Wolf von 720 Cents haben, 18,045 Cents, die schärfer sind als ein gerechter Fünfter. Dies heult weit weniger akut, aber immer noch sehr deutlich.
  

  Der Wolf kann durch gleiches Temperament oder ein gut temperiertes Temperament gezähmt werden. Die Unerschrockenen wollen es einfach als xenharmonische Musikintervall behandeln. Abhängig von der Größe des fünften kann es genau 20:13 oder 17:11 oder weniger 32:21 oder 49:32 sein.
  

  Mit einem eher extremen Temperament, wie etwa 19 gleichem Temperament, ist der Wolf groß genug, um näher an einem Sechstel als einem Fünftel zu sein und klingt nach einem ganz anderen Intervall und nicht nach einem verstimmten Fünftel.
  

  
  

  Behalten Sie das zweidimensionale Abstimmsystem bei [ edit ]

  
  
  

  Abbildung 1: Die isomorphe Tastatur von Wicki, 1896 von Kaspar Wicki erfunden. ^[7]
  
  
  
  
  

  Um ein zweidimensionales Temperament ohne Wolfintervalle zu verwenden, benötigt man eine zweidimensionale Tastatur "isomorph" mit diesem Temperament. Eine Tastatur und ein Temperament sind isomorph, wenn sie in denselben Intervallen erzeugt werden. Zum Beispiel wird die in Abbildung 1 dargestellte Wicki-Tastatur durch die gleichen musikalischen Intervalle wie das syntonische Temperament erzeugt, d. H. Durch die Oktave und temperiertes perfektes Fünftel, sodass sie isomorph sind.
  

  Auf einer isomorphen Tastatur hat jedes Musikintervall überall dort die gleiche Form - in jeder Oktave, Tonart und Stimmung, außer an den Rändern. Auf einer Tastatur von Wicki ist die Note, die eine getemperte perfekte Fünftel höher ist, beispielsweise immer auf und rechts neben der gegebenen Note. Es gibt keine Wolfsintervalle innerhalb des Notenbereichs dieser Tastatur. Das einzige Problem ist am Rand der Note E ♯ . Die Note, die ein ausgeglichenes perfektes Fünftel höher ist als E ♯ ist B ♯ die auf der gezeigten Tastatur nicht enthalten ist (obwohl sie in einer größeren Tastatur enthalten sein könnte, die nur zu platzieren ist) das Recht von A ♯ wodurch das konsistente Notenmuster der Tastatur beibehalten wird). Da es keine B -Taste gibt, muss beim Spielen eines E ♯ -Power-Akkords eine andere Note gewählt werden, die in der Tonlage nahe an B ♯ liegt, z als C anstelle des fehlenden B ♯ zu spielen. Das Intervall von E ♯ bis C wäre also ein "Wolfintervall" auf dieser Tastatur.
  

  Solche Randbedingungen erzeugen jedoch nur dann Wolfintervalle, wenn die isomorphe Tastatur weniger Tasten pro Oktave hat als die Stimmung verstärkende Noten hat. ^[6] Die isomorphe Tastatur in Abbildung 2 hat beispielsweise 19 Tasten pro Oktave, also die die oben zitierte Randbedingung von E 19 bis C ist nicht ein Wolfintervall in 12-TET, 17-TET oder 19-TET; Es ist jedoch ein Wolfintervall in 26-TET, 31-TET und 53-TET. Bei diesen letzteren Stimmungen könnte die Verwendung der elektronischen Transposition die Noten der aktuellen Taste auf der isomorphen Tastatur zentriert halten, wobei diese Wolfintervalle trotz der Modulation zu exotischen Tasten in tonaler Musik sehr selten anzutreffen sind. ^[8]

  Ein Keyboard, das mit dem syntonischen Temperament isomorph ist, wie beispielsweise Wickis Keyboard oben, behält seinen Isomorphismus bei allen Abstimmungen innerhalb des Abstimmkontinuums des syntonischen Temperaments bei, selbst wenn die Abstimmung zwischen solchen Abstimmungen dynamisch geändert wird. ^[8] 2 gültiger Abstimmbereich des syntonischen Temperaments.
  

  
  

  Hören Sie zu [ edit ]

  
  

  Hören Sie sich die beiden Fünftel hier an:
  

  
  

  Referenzen [ edit ]

  
  
  
  

  1. ^ A.L. Leigh Silver (1971), S. 354
     
  
  
  2. ^ ^{a b}
     Paul, Oscar (1885). Ein Handbuch der Harmonie für Musikschulen und Seminare und für den Selbstunterricht S.165. Theodore Baker, trans. G. Schirmer.
     
  
  
  3. ^ Der Wolf fünfte
     
  
  
  4. ^ Duffin, Ross W. (2007). Wie das gleiche Temperament die Harmonie ruinierte (und warum Sie sich dafür interessieren sollten) . New York: W. W. Norton. p. 35. ISBN 978-0-393-06227-4.
     
  
  
  5. ^
     Definition von Perfekte Übereinstimmung in Godfrey Webers allgemeinem Musiklehrer, von Godfrey Weber, 1841.
     
  
  
  6. ^ ^a b
     ^c Milne, Andrew; Sethares, William; Plamondon, James (Dezember 2007). "Invariante Fingersätze in einem Kontinuum". Computer Music Journal . 31 (4): 15–32. doi: 10.1162 / comj.2007.31.4.15 * . Abgerufen 2013-07-11 .
     
  
  
  7. ^ Gaskins, Robert (September 2003). "Das Wicki-System - ein Vorläufer des Hayden-Systems von 1896". Concertina-Bibliothek: Digitale Referenzsammlung für Concertinas . 2013-07-11 .
     
  
  
  8. ^ ^{a b} Plamondon, Jim; Milne, A .; Sethares, W. A. ​​(2009). "Dynamische Tonalität: Ausdehnung des Tonalitätsrahmens auf das 21. Jahrhundert" (PDF) . Verfahren der Jahreskonferenz des South Central Chapter der College Music Society .